Медианы AL и ВМ треугольника ABC пересекаются в точке К. Найдите длину отрезка СК, если АВ = и известно, что вокруг четырехугольника KLCM можно описать окружность.

Решение:

Проведем медиану CN и среднюю линию ML. Рассмотрим треугольники ANC и ANK – они подобны по равным углам: <ANK – общий, <NAK = <NCA, т.к. каждый из них равен углу <ALM (первый – как внутренний накрест лежащий для параллельных отрезков AN, ML и секущей AL; второй – как опирающийся на общую дугу; см. рис.).

Отсюда,

Таким образом,

Получаем,

Замечание. Не подчеркнуто, что медиана CN пройдет через точку K (теорема о пересечении медиан в одной точке). Ну, и не указано, что средняя линия параллельна основанию (используется для <NAK = <ALM). 

Ответ: CK=1.

Материал взят с сайта: www.math-lab.ru