В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 5, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар касается двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус второго шара?

Решение:

Обозначим вершины квадрата как указано на рис.

Через О₁,О₂ обозначим центры первого, второго шаров соответственно.
После этого, рассматриваем чисто планиметрическую задачу в прямоугольнике AA₁C₁C (см. рис.) по отысканию радиуса второго шара R₂=O₂L с данными значениями: ребром AA₁=5, радиусом первого шара R₁=O₁K=2, вычисленным AC=5√2.
Определим AK из подобных треугольников AO₁K и AC₁C :

Отсюда, AK=2√2. Аналогично, для подобных треугольников O₂LC, A₁AC находим LC=R₂√2. Отсюда, KL=AC-AK-LC=(3-R₂)√2. Далее, построим из т.O₂ перпендикуляр к O₁K и используя MO₂=KL и теорему Пифагора: O₁O₂²=MO₂²+MO₁², получим: (2+R₂)²=2(3- R₂)²+(2-R₂)². Откуда, R₂=1, или R₂=9. Второе значение не подходит, т.к. по условию второй шар лежит внутри куба. Таким образом, R₂=1.

Замечания. Основная сложность задачи для поступающих заключалась в доказательстве того, что О₁ лежит на диагонали AC₁, а О₂ – на диагонали A₁C. Доказательство не сложное, - доказывается, что центр первого шара лежит на биссектрисе трехгранного угла с вершиной в т.A, центр второго – на биссектрисе трехгранного угла с вершиной в т. C.
Также, для полноты решения необходимо также рассмотреть случай, когда R₂ может быть больше R₁ (равенство радиусов учитывается в рассмотренном случае). Тогда, получаем аналогичное по решению уравнение: (2+R₂)²=2(3- R₂)²+(R₂-2)²

Ответ: R₂=1

Материал взят с сайта: www.math-lab.ru