Решите систему неравенств

Решение:

Очевидно,

Делаем замену переменных

получаем систему:

Система несложно «решается» графически, но, в этом случае, мы обязаны обосновать подобное решение (в нашем случае, например, существование и единственность точки касания прямой окружности), т.к. графически мы можем невольно «подыграть» себе.
См. графики:

Имеется ввиду следующее – поступающий строит, например, один из приведенных графиков, и в решении указывает: ”…как, очевидно, следует из графика”.
Конечно, графическое «решение» очень удобно для видения возможных случаев количества решения.
Таким образом, будем решать систему аналитически (через доказательство).
Сразу сделаем замечание: в этом случае, конечно, нет необходимости переходить к новым переменным. Это было сделано только для того, чтобы показать возможность графической иллюстрации исходной системы через простые графики окружности и прямой.
Оценим:

Раскроем скобки, приведем подобные члены, получим:

Отсюда, очевидно, p=(2√2)/3.
Далее, получаем:

Очевидно, тогда s=1/3, и возвращаясь к исходным переменным, получаем решение x=5/9, y=1/9 . Далее, непосредственной проверкой убеждаемся, что оно удовлетворяет исходной системе.
Замечание: При графическом решении необходимо обосновать касание прямой и окружности (либо исходного эллипса).

Решения, когда вместо исходных неравенств рассматривались равенства(!), - не принимались. 

Ответ: x=5/9, y=1/9.

Материал взят с сайта: www.math-lab.ru